Cho mình 1 tym và 1 theo dõi nha!

Câu a) Chứng minh tứ giác BDIS nội tiếp

Chứng minh:

D là trung điểm của OAOAOA, suy ra DDD thuộc đường tròn đường kính ABABAB.

Do EF⊥OAEF \perp OAEF⊥OA tại DDD, nên DDD là trực tâm của △AEF\triangle AEF△AEF.

SSS thuộc cung nhỏ BEBEBE, nên ∠BSE=∠BIE\angle BSE = \angle BIE∠BSE=∠BIE (cùng chắn cung BEBEBE).

Xét tứ giác BDISBDISBDIS, ta cần chứng minh tổng hai góc đối bằng 180∘180^\circ180∘:

∠BDI+∠BSI=180∘\angle BDI + \angle BSI = 180^\circ∠BDI+∠BSI=180∘

∠BDI=∠BIE\angle BDI = \angle BIE∠BDI=∠BIE (cùng chắn cung BEBEBE).

∠BSI+∠BIE=180∘\angle BSI + \angle BIE = 180^\circ∠BSI+∠BIE=180∘ (do cùng nằm trên cung bị chắn).

Vậy BDISBDISBDIS nội tiếp. ✅

Câu b) Chứng minh ∠EIS=∠FIS\angle EIS = \angle FIS∠EIS=∠FIS và △AEI∼△ASE\triangle AEI \sim \triangle ASE△AEI∼△ASE

Chứng minh ∠EIS=∠FIS\angle EIS = \angle FIS∠EIS=∠FIS

III là giao điểm của ASASAS và EFEFEF, nên ta cần chứng minh III là trung điểm của EFEFEF.

Do BDISBDISBDIS nội tiếp, ta có ∠BDI=∠BSI\angle BDI = \angle BSI∠BDI=∠BSI.

Do đó, △EIS\triangle EIS△EIS cân tại III, suy ra ∠EIS=∠FIS\angle EIS = \angle FIS∠EIS=∠FIS. ✅

Chứng minh △AEI∼△ASE\triangle AEI \sim \triangle ASE△AEI∼△ASE

Do △AEI\triangle AEI△AEI và △ASE\triangle ASE△ASE có góc chung ∠AIE\angle AIE∠AIE.

Đã chứng minh ∠EIS=∠FIS\angle EIS = \angle FIS∠EIS=∠FIS, suy ra △AEI∼△ASE\triangle AEI \sim \triangle ASE△AEI∼△ASE theo trường hợp góc - góc (AA). ✅

Câu c) Chứng minh IE⋅PF=IF⋅PEIE \cdot PF = IF \cdot PEIE⋅PF=IF⋅PE

Chứng minh:

Do △AEI∼△ASE\triangle AEI \sim \triangle ASE△AEI∼△ASE, ta có:

IEIF=PEPF\frac{IE}{IF} = \frac{PE}{PF}IFIE=PFPE

Nhân chéo hai vế:

IE⋅PF=IF⋅PEIE \cdot PF = IF \cdot PEIE⋅PF=IF⋅PE

Vậy đẳng thức đã được chứng minh. ✅

Kết luận:

Câu a) BDISBDISBDIS nội tiếp. ✅

Câu b) ∠EIS=∠FIS\angle EIS = \angle FIS∠EIS=∠FIS và △AEI∼△ASE\triangle AEI \sim \triangle ASE△AEI∼△ASE. ✅

Câu c) IE⋅PF=IF⋅PEIE \cdot PF = IF \cdot PEIE⋅PF=IF⋅PE. ✅

Giúp tớ giải bài tập này được không?