a) Chứng minh AH vuông góc với SC:

Thông tin đề bài:

Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B

SA vuông góc với mặt đáy (ABC)

AB = BC = a

SA = a√3

AH là đường cao của tam giác SAB

AK là đường cao của tam giác SAC

Chứng minh:

Vì SA vuông góc (ABC) nên SA vuông góc BC (1)

ABC vuông cân tại B nên AB vuông góc BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC vuông góc (SAB)

AH nằm trong (SAB) nên BC vuông góc AH (3)

AH là đường cao trong SAB nên AH vuông góc SB (4)

Từ (3) và (4) suy ra AH vuông góc (SBC)

SC nằm trong (SBC) nên AH vuông góc SC (đpcm)

b) Tính thể tích khối chóp S.AHK:

Tính các độ dài cần thiết:

Tính AH (đường cao trong tam giác SAB vuông tại A):
1/AH2 = 1/SA2 + 1/AB2 = 1/(3a2) + 1/a2 = 4/(3a2)
=> AH = (a√3)/2

Tính SH:
SH = √(SA2 - AH2) = √(3a2 - 3a2/4) = (3a)/2

Tính AK (đường cao trong tam giác SAC vuông tại A):
AC = a√2 (do ABC vuông cân tại B)
1/AK2 = 1/SA2 + 1/AC2 = 1/(3a2) + 1/(2a2) = 5/(6a2)
=> AK = (a√30)/5

Tính SK:
SK = √(SA2 - AK2) = √(3a2 - 6a2/5) = (3a√5)/5

Tính thể tích:

Thể tích S.AHK = (1/3)Diện tích AHKKhoảng cách từ S đến (AHK)

Có thể tính bằng cách sử dụng tỉ lệ thể tích:
VS.AHK/VS.ABC = (SH/SB)*(SK/SC)

SB = 2a

SC = a√5

VS.ABC = (1/3)SA(1/2)ABBC = (a3√3)/6

VS.AHK = [(3a/2)/(2a)]*[(3a√5/5)/(a√5)]*(a3√3/6) = (9a3√3)/120 = (3a3√3)/40

Kết quả cuối cùng:
Thể tích khối chóp S.AHK là (3a3√3)/40

Giải nhanh giúp mình với