Giải thích:

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và 2 đường cao BD, CE cắt nhau tại H (D  AC, E  AB). a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. b) Vẽ đường kính AM của đường tròn (O), AH cắt BC tại F (F  BC). Chứng minh: AB.AC = AF.AM c) Tia DE và CB cắt nhau tại K. AK cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh: N, H, M thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Ta có: = 90° (CE ^ AB), = 90° (BD ^ AC)

Þ = 90°

Mà và là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC của tứ giác BEDC.

Þ Tứ giác BEDC nội tiếp.

b) Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O) đường kính AM

Nên = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà AH cắt BC tại F nên AF ⊥ BC do đó

Suy ra = 90°

Xét ∆ACM và ∆ABF, có:

= 90° (chứng minh trên),

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))

Þ ∆ACM ᔕ ∆AFB (g.g)

Þ (tỉ số đồng dạng)

Þ AB.AC = AF.AM (đpcm).

c) • Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (chứng minh câu a)

Þ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Hay

Xét DKDB và DKCE có:

(Chứng minh trên),

là góc chung

Þ DKDB ᔕ DKCE (g.g)

(tỉ số đồng dạng)

Þ KB.KC = KD.KE (1)

• Tứ giác ANBC nội tiếp

Xét DKBN và DKAC có:

là góc chung,

(chứng minh trên)

Þ DKBN ᔕ DKAC (g.g)

(tỉ số đồng dạng)

Þ KB. KC = KA.KN (2)

Từ (1) và (2) ta có:

KD.KE = KA.KN (= KB. KC)

Xét DKNE và DKAD có:

là góc chung,

(chứng minh trên)

Þ DKNE ᔕ DKAD (c.g.c)

(hai góc tương ứng)

Þ Tứ giác ANED nội tiếp đường tròn.

Do đó 4 điểm A, N, E, D cùng thuộc một đường tròn (3)

• Tứ giác AEHD có

Þ E và D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Þ 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH (4)

Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm A, N, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Do đó tứ giác ANHD nội tiếp đường tròn

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Þ AN ⊥ HN tại N (5)

• Ta có điểm N nằm trên đường tròn đường kính AM

= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Þ AN ⊥ MN tại N (6)

Từ (5) và (6) ta có: MN ≡ HN

Do đó ba điểm N, H, M thẳng hàng.