a) Chứng minh: AB/AD = BH/HD (1,0 điểm)

Xét hai tam giác vuông ABD và HBD:

Góc BAD = Góc BHD = 90°

Góc ABD = Góc HBD (do BD là đường phân giác của góc ABC)

Suy ra, tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBD (theo trường hợp góc-góc).

Từ sự đồng dạng, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng bằng nhau: AB/BH = AD/HD.

Từ đó suy ra: AB/AD = BH/HD (điều phải chứng minh).

b) Chứng minh: AD < DC (0,5 điểm)

Trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC là cạnh lớn nhất, nên AB < BC.

Từ câu a), ta có AB/AD = BH/HD.

Vì AB < BC và BH < BC (do H nằm giữa B và C), ta có thể suy ra AD < HD.

Xét tam giác vuông HDC, cạnh huyền DC là cạnh lớn nhất, nên HD < DC.

Kết hợp AD < HD và HD < DC, ta được AD < DC (điều phải chứng minh).

c) Tia HD cắt tia BA tại M. Chứng minh: Tam giác BMC cân tại B (0,5 điểm)

Vì BD là đường phân giác của góc ABC, nên mọi điểm nằm trên BD đều cách đều hai cạnh AB và BC.

Do DH vuông góc với BC, nên DH là khoảng cách từ D đến BC.

Suy ra, DA = DH (khoảng cách từ D đến AB).

Xét hai tam giác vuông MAD và MHD:

DA = DH

Góc MAD = Góc MHD = 90°

MD là cạnh chung.

Suy ra, tam giác MAD bằng tam giác MHD (theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Từ đó, MA = MH.

Xét hai tam giác MBA và MBH:

BA = BH (chứng minh ở câu a)

MA = MH

MB là cạnh chung.

Suy ra, tam giác MBA bằng tam giác MBH (theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh).

Từ đó, góc MBA = góc MBH.

Vì góc MBA = góc MBH, tam giác BMC cân tại B (điều phải chứng minh).

d) Gọi I là trung điểm của MC. Chứng minh: B, D, I thẳng hàng (0,5 điểm)

Trong tam giác BMC cân tại B, đường trung tuyến BI (vì I là trung điểm của MC) đồng thời là đường cao và đường phân giác.

Vậy, BI là đường phân giác của góc MBC.

Ta đã biết BD cũng là đường phân giác của góc ABC (tức góc MBC).

Hai đường phân giác của cùng một góc xuất phát từ cùng một đỉnh sẽ trùng nhau.

Do đó, B, D, I thẳng hàng (điều phải chứng minh).

giúp mình câu d với ạ. Mình đang cần gấp