a) Chứng minh tứ giác AHIF nội tiếp:

Vì AB là đường kính của (O) và CD vuông góc với AB tại H, nên H là trung điểm của CD (theo tính chất đường kính vuông góc dây cung).

Góc AFB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ∠AFB = 90°.

Xét tứ giác AHIF có:
∠AHI = 90° (do CD ⊥ AB)
∠AFI = ∠AFB = 90°
⇒ ∠AHI + ∠AFI = 180°
⇒ Tứ giác AHIF nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°).

b) Chứng minh HA.HB = HI.HK:

Tứ giác AHIF nội tiếp (chứng minh trên) ⇒ ∠HAI = ∠HFI (cùng chắn cung HI).

Xét ΔHAK và ΔHIB có:
∠HAK = ∠HIB (do cùng bằng ∠HFI)
∠AHK = ∠IHB (đối đỉnh)
⇒ ΔHAK ∼ ΔHIB (g.g)
⇒ HA/HI = HK/HB ⇒ HA.HB = HI.HK.

c) Chứng minh E thuộc đường tròn cố định khi H di chuyển trên OA:

Đường tròn ngoại tiếp ΔKIF cắt AI tại E ⇒ Tứ giác KIEF nội tiếp.
⇒ ∠AEK = ∠IFK (cùng chắn cung IK).

Mà ∠IFK = ∠AFB = 90° (do AB là đường kính).
⇒ ∠AEK = 90° ⇒ E thuộc đường tròn đường kính AK.

Khi H di chuyển trên OA, điểm K thay đổi nhưng AK luôn là dây cung của (O) cố định.
⇒ Đường tròn đường kính AK luôn đi qua hai điểm cố định là A và một điểm đối xứng với A qua O.
⇒ E di chuyển trên đường tròn cố định là đường tròn đường kính AB (chính là (O)).

Kết luận:

a) Tứ giác AHIF nội tiếp.

b) HA.HB = HI.HK.

c) Điểm E luôn thuộc đường tròn cố định (O) khi H di chuyển trên OA.

Giúp mình câu c với ạ